Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng là một dạng toán thường hay thi trong chương trình thi vào lớp 10, Top lời giải sẽ giới thiệu các phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng hay nhất để bạn có thể làm tốt bài thi môn Toán

1. Khi nào 3 điểm thẳng hàng

– Ba điểm thẳng hàng khi chúng cùng thuộc một đường thẳng.

– Chỉ có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại trong ba điểm thẳng hàng.

2. Liệt kê các cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng

1. Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm nằm trên hai cạnh là hai tia đối nhau.

2. Ba điểm cùng thuộc một tia hoặc một một đường thẳng

3. Trong ba đoạn thẳng nối hai trong ba điểm có một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng kia.

4. Hai đoạn thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng song song với đường thẳng thứ ba.

5. Hai đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.

6. Đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm ấy có chứa điểm thứ ba.

7. Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất ba đường cao trong tam giác 

8. Sử dụng tính chất hình bình hành.

9. Sử dụng tính chất góc nội tiếp đường tròn.

10. Sử dụng góc bằng nhau đối đỉnh

11. Sử dụng trung điểm các cạnh bên, các đường chéo của hình thang thẳng hàng

12. Chứng minh phản chứng

13. Sử dụng diện tích tam giác tạo bởi ba điểm bằng 0

14. Sử dụng sự đồng qui của các đường thẳng.

3. Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng thường dùng giải bài tập

Cách 1: Sử dụng tính chất góc bẹt

Nếu ∠ABD + ∠DBC = 180o thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

Cách 2: Sử dụng tiên đề Ơclit

Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

(Cơ sở của phương pháp này là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình học lớp 7)

Cách 3: Sử dụng tính chất 2 đường thẳng vuông góc

Nếu AB ⊥ a; AC ⊥ a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

(Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước)

Hoặc A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng .(tiết 3- hình học lớp 7)

Cách 4: Sử dụng tính duy nhất tia phân giác

Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy thì ba điểm O; A; B thẳng hàng.

Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác .

* Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, ∠xOA = ∠xOB  thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.

Cách 5: Sử dụng tính chất đường trung trực

Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’ là trung điểm BD và K’ ≡ K thì A, K, C thẳng hàng.

(Cơ sở của phương pháp này: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm)

Cách 6: Sử dụng tính chất các đường đồng quy

Chứng minh 3 điểm thuộc các đường đồng quy tam giác.

Ví dụ: Chứng minh E là trọng tâm tam giác ABC và AM là trung tuyến của góc A suy ra A, M, H thẳng hàng.

Ta có thể vận dụng cho tất cả các đường đồng quy tam giác như 3 đường cao, 3 đường phân giác, 3 đường trung trực trong tam giác.

Cách 7: Sử dụng phương pháp vectơ

Ta sử dụng tính chất 2 vectơ cùng phương để chứng minh có đường thẳng đi qua 3 điểm thẳng hàng.

Ví dụ: Chứng minh vectơ AB và vectơ AC cùng phương, hay vectơ CA và vectơ CB, hay vectơ AB vectơ và vectơ BC cùng phương thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

 

 

4. Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng có lời giải

Bài 1: Cho tam giác ABC . gọi D, E lần lượt  là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho MD = CD. Trên tia đối của tia EB, lấy điểm N sao cho EN = BE. chứng minh :  A là trung điểm của MN.

Giải

Xét ΔBCD và ΔBMD, ta có :

 DB = DA (D là trung điểm của AB) ∠D₁ = ∠D₂ (đối đỉnh).

DC  = DM (gt).

=> ΔBCD = ΔBMD (c -g -c)

=> ∠C₁ = ∠M và BC = AM.

Mà : ∠C1; ∠M ở vị trí so le trong. => BC // AM.

Chứng minh tương tự, ta được : BC // AN và BC = AN.

Ta có : BC // AM (cmt) và BC // AN (cmt)

=> A, M. N thẳng hàng. (1)

BC = AM và BC = AN => AM = AN (2).

Từ (1) và (2), suy ra : A là trung điểm của MN.

Nhận xét: Chứng minh 3 điểm A, M, N thẳng hàng trước, sau đó chứng minh AM = AN